常见的三角函数值【锦集5篇】
【简介】以下是热心会员“avtxi7”分享的常见的三角函数值（共5篇），供大家品鉴。
专题课
函数的值域与最值
教材分析：1.值域是函数的三要素之一，函数的值域与最值，特别是最值是高考重点，而且考察的题型涉及选择、填空、解答题.2.值域与最值知识在教材中比较分散，且方法较多，因此教学中要善于总结.教学通过对例题的变式训练，让学生在问题的认知、探索、发现、设计、解决、创造等全过程、全方位、深层次中进行主体性、实质性的参与.教学目标：1.知识目标：让学生掌握求值域的基本方法及基本函数的的值域.2.能力目标：培养学生观察、分析、总结、化归的能力，熟练各种方法.3.情感目标：在探究的过程中形成良好的数学素质和正确的学习态度.教学重点：求值域的方法.教学难点：判别式法、单调性法.教学方法：导练法 教学过程： 一.知识提炼：
1.函数的值域
值域是组成的集合，它是由和确定的.2.基本函数的值域
（1）.一次函数y?kx?b?k?0?的值域是.（2）.二次函数y?ax2?bx?c(a?0),当a?0时，值域是，当a?0时，值域是.（3）.反比例函数y?kx?k?0?的值域是.（4）.指数函数y?ax?a?0且a?1?的值域是.（5）.对数函数y?logax?a?0且a?1?的值域是.3.求值域的基本方法（1）.形如y?ax?bmx?n?mn?0?的函数，用求值域.（2）.形如y?ax2?bx?c(a?0)的函数，用求值域，要特别注意定义域.二次函数在给出区间上的最值有两类：
一是求闭区间?a,b?上函数的最值问题；
二是求区间确定（运动），对称轴运动（确定）时函数的最值问题。在求二次函数的最值问题时，一定要注意数形结合，注意“两看”： 一看开口方向；
二看对称轴与所给区间的相对位置关系。
（3）.形如y?ax2?bx?cmx2?nx?e?m,a至少一个不为0?的函数，可用求值域.（4）.形如y?f?x??g?x?的函数用求值域.（5）.其它方法：不等式法，导数法，单调性法，函数的有界性，图象法等.二.典例示范：
例1.求下列各函数的值域.（1）y?x2?4x?3?x?R?
变式1：当x??－1,3?时，求函数值域.变式2：当x??t，t?1??t?R?时，求函数的最小值.点评：（2）y?x?4x?x?0?
变式：当x??1，5?时，求函数的值域.点评：
（3）y?x2?x?1x?1
变式1：将函数式改为y?x2－x－2x?1，值域如何求？
变式2：将函数式改为y?x2?x?1x2?1，值域如何求？
点评：
（4）y?x?1?x
变式1：将函数式改为y?x－1?x，值域如何求？
变式2：将函数式改为y?x?1?x2，值域如何求？
点评：
例2.已知f(x)?2?log3x(1?x?9)，求函数g(x)?f2(x)?f(x2)的最大值与最小值.点评：
探究题.已知函数f(x)?x2?2x?ax,x?[1,??)（1）当a?
时，求函数f(x)的最小值 ；（2）若对任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，试求实数a的取值范围.三.基础练习：
1.函数y?x2?5的值域为x2.??3?2x?x2 的值域是.?x?2x?1的最小值是.?2x?1x?3的值域是.5.函数f?x??2x2?13x3在区间[－1，5]上的最大值是
6.函数y?2?2x2x?1的值域为（）
A．（??,?2]?[?1,??)B．(??,?2)?(?1,??)
C．?yy??1,y?R? D．?yy??2,y?R?
7.已知函数f(x)的值域是[3,489]，试求y?f(x)?1?2f(x)的值域.8.已知函数f?x??logmx2?8x?n3x2?1的定义域为R，值域为?0,2?，求实数m,n的值.四.归纳总结：
1.求值域时不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用.2.求值域问题的结果要写成集合或区间形式.3.熟练掌握求值域的几种方法，积累经验，掌握规律，根据问题的不同特点，综合而灵活地运用条件选择方法求之.五.布置作业
数值线性代数课程设计报告
姓名:陶英 学号:0
任课教师:杨熙
南京航空航天大学
2016 年 6 月 22日
求解线性方程组的三种迭代法及其结果比较
摘要
当今的环境下，数值计算越来越依赖于计算机。大规模科学计算和工程技术中许多问题的解决，最终归结为大型稀疏线性方程组的求解，其求解时间在整个问题求解时间中占有很大的比重，有的甚至达到80%。由于现今科学研究和大型项目中各种复杂的可以对计算精度和计算速度的要求越来越高。因此，作为大规模科学计算基础的线性代数方程组的高效数值求解引起了人们的普遍关注。这种方程组的求解一般采用迭代法。
关于迭代法，是有很多种解决公式的：Jacobi，G-S和超松弛迭代法。这三种方法的原理大致相同，Jacobi需要给定初向量，G-S则需要给定初值，超松弛法是对Guass-Seidel迭代法的加权平均改造。而本文则是对大型稀疏线性方程组迭代求解与三种迭代法（Jacobi，Gauss-Seidel和超松弛迭代法）的收敛速度与精确解的误差比较做出研究。
关键词：Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；线性方程组 方法与理论的叙述
迭代法简介
迭代法：
对于非奇异线性方程组Ax=b，令A=D-L-U，其中
则原方程组可改写为：
其中
给定初始向量：
由（）可以构造迭代公式：
其分量形式为：
）（迭代法： 类似于Jacobi迭代法，给定初值：
令
则得到Guass-Seidel公式：
其分量形式为：
3.超松弛迭代法（SOR 迭代法）：
SOR迭代法是对Guass-Seidel迭代法的加权平均改造，即
为Guass-Seidel迭代解，即
它的分量形式为：
其中ω称为松弛因子，当ω>1时称为超松弛；当ω<1时叫低松弛；ω=1时就是
Guass-Seidel迭代。
上述三种经典迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵谱半径小于1。
谱半径不易求解，而在一定条件下，通过系数矩阵A的性质可判断迭代法的收敛性。定理1：
若系数矩阵A是严格对角占优或不可约对角占优，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。定理2：
（1）SOR迭代法收敛的必要条件是0 （2）若系数矩阵A严格对角占优或不可约对角占优且0 问题 考虑两点边值问题： ?d2ydy?a,0?a?1??2? dx?dx?y(0)?0,y(1)?1.??1?a(1?e?)?ax 容易知道它的精确解为：y??1/?1?ex为了将微分方程离散，把[0,1]区间n等分，令h=1/n，xi?ih,i?1,2,...n?1，得到差分方程 (??h)yi?1?(2??h)yi??yi?1?ah2，从而得到迭代方程组的系数矩阵A。 对?=1，a=1/2,n=100,分别用jacobi，G-S，超松弛迭代法分别求线性方程组的解，要求4位有效数字，然后比较与精确解的误差。 对?=，?=，?=，考虑同样问题。 1.方程的表示及存储 由于本题中线性方程组的系数矩阵为三对角矩阵，所以可以采用紧缩方法存储，即 然后在矩阵乘法时对下标处理一下即可。但是考虑到三种迭代方法的一般性，且本题中n=200并不是很大，所以实验中并没有采用紧缩存储，而是采用了直接存储。2.边值条件的处理 由于差分得到的方程组的第一行和最后一行中分别出现了边值y(0)与y(1)作为常数项，因此要在常向量的第一项和最后一项作一些修改： 3.迭代终止条件 首先确定要求的精度tol，我们希望当 则停止迭代。对于迭代格式，若 且，则迭代序列的 第k 次近似解和精确解之间有估计式由题目要求知我们需要有 。，而由上面的迭代估计，只要，即取为，因此最后令迭代终止条件为 即可。而本题中q可近似 迭代中最佳松弛因子的选取 由于SOR 迭代法的效果和其松弛因子w的选取有关，所以有必要选取合适的松弛因子。当选择最佳松弛因子 时，SOR 方法的迭代速度最快。 Matlab实现： 迭代矩阵是n-1阶的，不是n阶； 等号右端向量b的最后一项，不是ah^2，而是ah^2-eps-h 精确解 ?1?ay?(1?e?)?ax ?1/?1?ex带入a=1/2,?=1 代码： >> clear >> x=linspace(0,1);truy=()/(1-exp(-1/1))*(1-exp(-x./1))+x.*;figure;plot(x,truy,g,LineWidth,);hold on;Grid 图： 三种迭代法 Jacobi法：代码见附录 Eps=1 结果： 迭代次数k： 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果） Eps= 结果： 迭代次数k：8753 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果） Eps= 结果： 迭代次数k：661 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果） G-S迭代法：代码见附录 Eps=1 结果： 迭代次数k： 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果） Eps= 结果： 迭代次数k：4394 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果） Eps= 结果： 迭代次数k：379 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果） 超松弛法：代码见附录 Eps=1 w=6 结果： 迭代次数k：3503 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果） Eps= w=6 结果： 迭代次数k：1369 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果） Eps= w=6 结果： 迭代次数k：131 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）分析讨论及心得体会 三种方法的比较 Jacobi、G-S、超松弛法，三者都能够取得对精确解的良好逼近，但是，在相同的精度条件下，三者的收敛速度是不一样的，jacobi 心得体会 这次课程设计，平时感觉挺简单的那些枯燥单调的代码和数学公式，真正到了自己运用的时候却无从下手，但是，解决问题的过程恰是不断学习的过程：数学算法转换为代码的过程要对题目有深入的了解，然后对程序函数定义还要有一定的掌握能力，通过这个的过程让我巩固了自己的数学知识，对数学专业知识和MATLAB的操作有了更深的体会。 课程设计中遇到的问题只凭自己苦思冥想是不能全部解决的，这是同学老师的建议和网络给了我很大的帮助。遇到自己解决不了的问题时，多多向老师同学请教，或许问题就能迎刃而解。 4参考文献 [1]徐树方.数值线性代数.北京:北京大学出版社,1995.[2]马昌凤.现代数值分析.北京:国防工业出版社.2013.[3]刘春凤,米翠兰.实用数值分析教程.北京冶金工业出版社.2006 5附录 源代码 ： function [y,k]=jacobi2(a,eps,h,delta)n=/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;for i=1:n-1 for j=1:n-1 A(i,j)=0;end end for i=1:n-1 A(i,i)=-(2*eps+h);end for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i==j+1 A(i,j)=eps;end if i==j-1 A(i,j)=eps+h;end End end b=zeros(n-1,1);for i=1:n-2 b(i,1)=a*h^2;end b(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);for i=1:n-1 D(i,i)=A(i,i);end L=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i>j L(i,j)=-A(i,j);end End end U=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i End end b=D(L+U);g=Db;while 1 z=B*y+g;if norm(z-y,inf) y=z;k=k+1;end x=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,g,LineWidth,5);hold on;grid hold on;plot(y,b) : function [y,k]=gs2(a,eps,h,delta)n=/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;for i=1:n-1 for j=1:n-1 A(i,j)=0;end end for i=1:n-1 A(i,i)=-(2*eps+h);end for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i==j+1 A(i,j)=eps;end if i==j-1 A(i,j)=eps+h;end End end b=zeros(n-1,1);for i=1:n-2 b(i,1)=a*h^2;end b(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);for i=1:n-1 D(i,i)=A(i,i);end L=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i>j L(i,j)=-A(i,j);end End end U=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i End end b=D(L+U);g=Db;while 1 z=(D-L)U*y+(D-L)b;if norm(z-y,inf) y=z;k=k+1;end x=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,g,LineWidth,5);hold on;grid hold on;plot(y,b) ： function [y,k]=sor(a,eps,h,delta,w)n=/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;for i=1:n-1 for j=1:n-1 A(i,j)=0;end end for i=1:n-1 A(i,i)=-(2*eps+h);end for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i==j+1 A(i,j)=eps;end if i==j-1 A(i,j)=eps+h;end End end b=zeros(n-1,1);for i=1:n-2 b(i,1)=a*h^2;end b(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);for i=1:n-1 D(i,i)=A(i,i);end L=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i>j L(i,j)=-A(i,j);end End end U=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i End end b=D(L+U);g=Db;Lw=((D-w*L)^-1)*((1-w)*D+w*U);while 1 z=Lw*y+w*(D-w*L)^-1*b;if norm(z-y,inf) y=z;k=k+1;end x=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,g,LineWidth,5);hold on;grid hold on;plot(y,b) 龙源期刊网 http://.cn 一类分式型三角函数值域的多角度求解 舒飞跃 《数理化学习·高一二版》2012年第12期 三角函数中经常遇到求形如“y=asinx+bcosx+cdsinx+ecosx+f” 型函数值域，对这一类分式型三角函数值域，从不同思维层次思考的求解方法不同，下面举一例说明其解法.评注：此题用常规方法也可以得到很好的解决，但没有此法来得快速与准确.利用斜率公式简解代数竞赛题，虽然这不是解决问题的唯一方法，但它展现了丰富多彩的数学世界，而且对于锻炼学生思维能力的创造性、开拓性、开阔性大有裨益. 班组质量管理测验题 一、填空 1、质量管理的发展经历了质量检验阶段、质量统计阶段、全面质量管理阶段三个阶段。 2、费根堡姆最早提出了全面质量管理的概念。 3、质量是一组固有特性满足要求的程度。 4、PDCA循环中“P”代表计划“D”代表实施“C”代表检查 “A”代表处理。 二、选择题 1、八项质量管理原则中，C就是体现各级人员都是组织之本，只有他们的充分参与，才 能依靠他们的才干为组织带来收益。 A、过程方法；B、管理的系统方法；C、全员参与 D、基于事实的决策方法2、2008版ISO9000标准的核心标准是D A、ISO9000：2008；B、ISO9001：2008；C、ISO9004和ISO； D、以上全部 三、判断题 1、对外宣传时，可以在产品说明书上注明该产品通过了ISO9001：2008认证。（×） 2、以顾客为关注焦点所指顾客为外部顾客。（×） 3、质量检验阶段是采用事后检验的办法控制质量，是一种消极的质量管理手段。（√） 4、QC小组活动时不需要保留记录。（×） 四、名词解释 1、过程 将输入转化为输出的相互关联或相互作用的一组活动。 2、八项质量管理原则 以顾客为关注焦点；领导作用；全员参与；过程方法；管理的系统方法；持续改进； 基于事实的决策方法；与供方互利的关系 五、简答题 1、PDCA循环有哪些特点？ 答：周而复始、大环套小环、阶梯式上升、多种工具。 2、我公司的质量方针与质量目标是什么？ 答：我公司质量方针：精细管理、精益生产、持续改进，提供用户满意的产品和服务。 3、班组做好质量管理应建立的制度有哪些？ 答：生产操作标准；作业顺序标准；技术工艺标准；安全作业标准；设备维护标准； 设备完好标准；工具、器具标准；质量检验标准；文明生产标准；现场管理标准。我公司质量目标： 1、提高全员质量意识，稳步提高产品质量，保证悬浮法聚氯乙烯树脂产品出厂合格率达 到100%，产品一等品率稳定在90%以上。 2、液体产品(高纯氢氧化钠、工业用液氯、工业用合成盐酸)出厂合格率达到100%。 3、客户满意度达到80%以上 三角函数综合练习题 一．选择题（共10小题） 1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（） A．2 B． C． D． 2．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（） A． B． C． D． 3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（） A．msin35° B．mcos35° C． D． 4．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（） 第1页（共26页） A． B． C． D． 5．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（） A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米 6．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（） A．米 2B．米 2C．（4+）米 D．（4+4tanθ）米 227．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（） A．160m B．120m C．300m D．160 m 8．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（） 第2页（共26页） A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m 9．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈9，cos36°≈，tan36°≈）（） A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是（） A． 二．解答题（共13小题）11．计算：（﹣）+（） 12．计算： 第3页（共26页） 0 ﹣1B． C． D． ﹣|tan45°﹣| ． 13．计算： sin45°+cos30°﹣ 2+2sin60°． 14．计算：cos45°﹣ 15．计算： sin45°+2 +cot30°． sin60°﹣2tan45°． 16．计算：cos45°+tan60°?cos30°﹣3cot60°． 第4页（共26页） 17．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度； （2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22） 18．某国发生级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈，cos25°≈，tan25°≈，≈） 第5页（共26页） 19．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（，CF结果精确到米） 20．如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号） 第6页（共26页） 21．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1： 米的点D（点D与楼底C在同的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）． 22．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到m）（参考数据：≈，≈32） 第7页（共26页） 23．某型号飞机的机翼形状如图，根据图示尺寸计算AC和AB的长度（精确到米，≈，≈3）． 第8页（共26页） 2016年12月23日三角函数综合练习题初中数学组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2016?安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（） A．2 B． C． D． 【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【解答】解：如图：由勾股定理，得 AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B=故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数． 2．（2016?攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）=，第9页（共26页） A． B． C． D． 【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可． 【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴CD==5，连接CD，如图所示： ∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD=故选：D． =． 【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 3．（2016?三明）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（） 第10页（共26页） A．msin35° B．mcos35° C． D． 【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案． 【解答】解：sin∠A=∵AB=m，∠A=35°，∴BC=msin35°，故选：A． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义． 4．（2016?绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（），A． B． C． D． 【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值． 【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BE=BC，∴AE=BE=BC． 第11页（共26页） =，设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x． 在△BCE与△ABC中，∴△BCE∽△ABC，∴=，即=，（负值舍去），． 解得x=﹣2±2∴AE=﹣2+2在△ADE中，∵∠ADE=90°，∴cosA=故选C． 【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解题的关键． 5．（2016?南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）== ． A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米 【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度． 【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 第12页（共26页） ，即AD=BD?tan36°=5tan36°（米）． 6．（2016?金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（） A．米 2B．米 2C．（4+）米 D．（4+4tanθ）米 22【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米）； 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键． 7．（2016?长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（） 2A．160m B．120m C．300m D．160 m 【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=AD?tan30°=120×在Rt△ACD中，CD=AD?tan60°=120× =40=120 （m），（m），第13页（共26页） ∴BC=BD+CD=160故选A．（m）． 【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键． 8．（2016?南通）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（） A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m 【分析】设MN=xm，由题意可知△BMN是等腰直角三角形，所以BN=MN=x，则AN=16+x，在Rt△AMN中，利用30°角的正切列式求出x的值． 【解答】解：设MN=xm，在Rt△BMN中，∵∠MBN=45°，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中，tan∠MAN=∴tan30°=解得：x=8（=，+1），+1）m； 则建筑物MN的高度等于8（故选A． 第14页（共26页） 【点评】本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角或俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角；并与三角函数相结合求边的长． 9．（2016?重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈9，cos36°≈，tan36°≈）（） A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果． 【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示： 则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：，∴AF=BF，设BF=x米，则AF=x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x+（x）=13，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AE?tan36°=18×=14米，∴CD=CE﹣DE=14米﹣5米≈米； 故选：A． 第15页（共26页） 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 10．（2016?广东模拟）如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是（） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，然后由勾股定理求得AB的长，又由余弦的定义，即可求得答案． 【解答】解：如图，∵由6块长为 2、宽为1的长方形，∴∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，∴在Rt△ABD中，AB=∴cos∠ABC=故选D． =． =5，【点评】此题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用． 二．解答题（共13小题） 11．（2016?成都模拟）计算：（﹣）+（） 0 ﹣ 1﹣|tan45°﹣| 第16页（共26页） 【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式=1+3×=1+2=﹣． +1 ﹣︳1﹣ ︳ 【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 12．（2016?顺义区二模）计算： ． 【分析】要根据负指数，绝对值的性质和三角函数值进行计算．注意：（）﹣1=3，|1﹣|=﹣1，cos45°= ． = =2． 【解答】解：原式=【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数． 13．（2016?天门模拟）计算： sin45°+cos30°﹣ 2+2sin60°． 【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：原式==+﹣=1+． + ? +（）﹣ 2+2× 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 14．（2016?黄浦区一模）计算：cos45°﹣ +cot30°． 第17页（共26页） 【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案． 【解答】解：原式=（）﹣ +（） 2=﹣+3 =． 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 15．（2016?深圳校级模拟）计算： sin45°+ sin60°﹣2tan45°． 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算． 【解答】解：原式==+3﹣2 =． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°=； cos30°=sin45°=sin60°= 16．（2016?虹口区一模）计算：cos45°+tan60°?cos30°﹣3cot60°． 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【解答】解：原式=（=1． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 17．（2016?青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）． 第18页（共26页） 22×+2×﹣2×1 ；tan30°=； ；cos45°=；tan45°=1； ． ；cos60°=； tan60°=）+ 2×﹣3×（） （1）求办公楼AB的高度； （2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22） 【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=（2）利用Rt△AME中，cos22°=【解答】解：（1）如图，求出AE即可，求出即可； 过点E作EM⊥AB，垂足为M． 设AB为x． Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=则，=，解得：x=20． 即教学楼的高20m． （2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45． 第19页（共26页） 在Rt△AME中，cos22°=∴AE=，． 即A、E之间的距离约为48m 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°= 18．（2016?自贡）某国发生级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈，cos25°≈，tan25°≈，≈） 是解题关键 【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值． 【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米． 在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°=所以AD==，=2x． Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°=解得：x≈3． 即生命迹象所在位置C的深度约为3米． =，第20页（共26页） 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 19．（2016?黄石）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（，CF结果精确到米） 【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长； （2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可． 【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=∴BH=800?sin30°=400，∴EF=BH=400m； （2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=∴CE=200?sin45°=100 ≈，∴CF=CE+EF=+400≈541（m）． 答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写 第21页（共26页） 成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα． 20．（2016?天水）如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号） 【分析】在直角△AOC中，利用三角函数即可求解；在图中共有三个直角三角形，即RT△AOC、RT△PCF、RT△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决． 【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=200米，∠CAO=60°，∴CO=AO?tan60°=200 （2）设PE=x米，∵tan∠PAB=∴AE=3x． 在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=200∵PF=CF，∴200+3x=200解得x=50（﹣x，﹣1）米． 米，所在位置点P的铅直高度是50（﹣1）米． ﹣x，PF=OA+AE=200+3x，=，（米） 答：电视塔OC的高度是200 第22页（共26页） 【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及坡度坡角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 21．（2016?泸州）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1： 米的点D（点D的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）． 【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题． 【解答】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M． 在RT△BDN中，BD=30，BN：ND=1：∴BN=15，DN=15，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=60 ﹣1 5=45，在RT△ABM中，tan∠ABM=∴AM=60，． =，∴AC=AM+CM=15+60 第23页（共26页） 【点评】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型． 22．（2016?昆明）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到m）（参考数据：≈，≈32） 【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H． 则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m． 在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10 （m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣≈（m）． 答：障碍物B，C两点间的距离约为m． 第24页（共26页） 【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 23．（2016?丹东模拟）某型号飞机的机翼形状如图，根据图示尺寸计算AC和AB的长度（精确到米，≈，≈3）． 【分析】在Rt△CAE中，∠ACE=45°，则△ACE是等腰直角三角形即可求得AC的长；在Rt△BFD中已知∠BDF与FB的长，进而得出AB的长． 【解答】解：在Rt△CAE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=5（m），∴AC=CE=5≈5×≈（m），在Rt△BFD中，∠BDF=30°，∴BF=FD?tan30° =5×≈5× ≈（m），∵DC=EF=（m），∴AF=，则AB=﹣=≈（m），答：AC约为米，BA约为米． 第25页（共26页） 【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 第26页（共26页）例析求解三角函数值的几种类型 篇3
三角函数测验题 篇4
数学三角函数 篇5