八年级数学等腰三角形教案3篇 初中数学等腰三角形教案
下面是范文网小编收集的八年级数学等腰三角形教案3篇 初中数学等腰三角形教案，供大家参考。
课题：等腰三角形
来榜中心学校 张林业 教材分析：
本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。教材通过学生对等腰三角形的叠合操作，得出等腰三角形的轴对称性，给出了等腰三角形的性质1，并对性质1进行了证明，从性质1的证明过程中，得出等边三角形性质及等腰三角形性质2，这里“等边对等角是今后证明两角相等常用方法之一，而等腰三角形的“三线合一”是今后证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直的重要依据。教学目标：
知识与技能：掌握等腰三角形的性质及其两个推论；
过程与方法：运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算
情感态度价值观：经历操作、发现、猜想、证明的过程，培养学生的逻辑思维能力； 教学重难点：
重点是等腰三角形的性质定理及其证明；
难点是“三线合一”的理解
关键：运用观察、操作来领悟规律，以全等三角形为推理工具，在交流中突破难点 教学方法：直观教学发现法和启发诱导教学法，与学生实践操作、合作探究 教具：长方形纸片、剪刀、自制等腰三角形纸片 教学过程
一、创设情景，引入新知
活动1：请同学们把一张长方形的纸片对折，剪去（或用刀子裁）一个角，再把它展开，得到的是什么样三角形? 教师示范操作，然后学生跟着动手操作，观察得出结论：“剪刀剪过的两条边是相等的；剪出的图形是等腰三角形”，根据学生回答，板书：等腰三角形
师生共同回顾：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角
教师提问：剪出的三角形是轴对称图形吗？你能发现这个三角形有哪些特点吗？说一说你的猜想
学生思考并发表自已的看法，教师提出本节课所要解决的问题
师生归纳：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴（板书）
教师说明：对称轴是一条直线，而三角形的中线是线段，因此不能说等腰三角形底边上的中线是它的对称轴。
二、合作交流，探索新知
活动2：教师出示刚才剪下的等腰三角形纸片，标上字母如图所示：
B D
C
D
B(C)A A 把边AB叠合到边AC上，这时点B与C重合，并出现折痕AD，观察图图形，△ADB与△ADC有什么关系？图中哪些线段或角相等？AD与BC垂直吗？为什么？
学生回答：△ADB与△ADC重合，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠CDA，BD=CD 活动3：由上面的性质我们可以得到等腰三角形如下性质： 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称：等边对等角（板书）教师提问：这个命题的题设是什么？结论是什么？学生可结合图形回答（板书）已知：在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C 说明：将等腰三角形写成已知时，通常写成“在△ABC中，AB=AC”而不写成“等腰”两个字
教师引等学生回答：要证两个角相等可以转化前面所学过的三角形全等，而图形只有一个三角形，如何添加辅助线使它转化为两个三角形? 通过刚才的折叠等腰三角形的实验，很容易得到辅助线，作高AD或作顶角的平分线AD，可由两位学生板演，教师巡视，并给订正。
同学们思考一下，还有没有其它辅助线的作法，教师可作提示：作中线AD，由学生口答，或者指导学生看课本证明。
教师归纳等腰三角形性质1，并指出它的几何符号语言的书写： 如上图：∵ AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
教师提出问题：练习1（口答）
1、等腰直角三角形每一个锐角的度数是多少度？
2、如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的顶角的度数是多少？
3、如果等腰三角形的顶角是40°，那么它的底角的度数是多少？
1、如果等腰三角形的一个角是40°，那么其它的两个角各是多少度？
2、如果等腰三角形的一个内角是120°，则其它的两个角各是多少度？
3、等边三角形各内角有什么关系？各等于多少度？ 要求学生完成教师提出的问题，教师归纳：
（1）等腰三角形中顶角与底角的关系：顶角十 2 ×底角=180°（2）推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°（板书）教师与学生合作分析，口述（2）的证明过程。
活动4：提出问题：从性质1的证明过程可以知道，BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，由此，你能得出等腰三角形还具有什么性质？ 让学生运用数学语言表述所发现的规律，师生共同归纳得出： 性质2 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边（板书）
即：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 三线合一（板书）
活动5：教师出示课本例1（小黑板显示）
例1 如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E是底边的两点，且BD=AD，CE=AE，求∠DAE的度数
B
D
E
C
A
分析例1，剖析推理方法及依据，提出讨论问题，引导学生思考，根据学生回答教师板书例1过程，解略
三、巩固练习，强化新知
练习2：课本练习第3题（出示小黑板）如图，在ABC中，AB=AC
B
D
C
A（1）∵AD⊥BD，∴∠______ = ∠_____； ______ = ______（等腰三角形底边上的高与______、______重合）
（2）∵AD是中线 ∴_____ ⊥_____；∠_____= ∠_____（等腰三角形底边上的中线与_____、_____重合）
（3）∵AD是角平分线 ∴____ ⊥ ____；____= ____（等腰三角形顶角的平分线与______、_____重合）
四、师生互动，总结新知
请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
师生活动：学生思考后，用自己语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：
1、等边对等角；
2、等腰三角形三线合一；
3、等边三角形性质；
4、等腰三角形常用辅助线作法（作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线）
五、作业设计，深化新知
课本P127页练习第2题、P132页习题第1题
教学反思：
本节课通过对等腰三角形叠合操作引出等腰三角形是轴对称图形，进而得到等腰三角形的性质1：等边对等角，这种操作有利于学生发现等腰三角形性质的证明，给出三种不同的辅助线，是用来培养学生的发散思维能力。新教材中例1设计与旧人教版求“人字形的角度”相比具有一定难度，为此，在讲完性质1后，设计如教案中练习1，一方面是用来巩固性质1，其中练习1中2、3、4具有变式教学思想，另一方面是为推论及性质2作准备。教案中练习2是用来巩固性质2，重点是培养学生的几何符号语言表达能力。让学生回顾，是为了培养学生的语言表达能力，同时加深学生对所学知识的理解，促进学生对学习过程的进行反思。在整个教学过程中，本人利用多种教学方法，使学生在实验中提出问题，解决问题的途径，而不知不觉地进入学习氛围，把学生从被动学习步入主动想学的习惯。总之，在本节教学中，我始终坚持以学生为主体，教师为主导，致力启用学生已掌握的知识，充分调动学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中，在整个教学过程中我以启发学生，挖掘学生潜力，培养学生应用意识，提高学生学习数学素养。
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等腰三角形
一、等腰三角形含义：有两条边相等的三角形。
常见题：已知两边长和第三边，求周长。例题：两条边长分别为2和5，求周长，注意：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
二、等腰三角形的性质：
1.等边对等角，例如：已知AB=AC，∠B=∠C 等腰三角形的性质：
2等腰△的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。注意：只有等腰三角形才有三线合一。
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．
ABDC
3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
4.[例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么 这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）． 求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对练习：已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC． 求证：
证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．
又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角对等边）．
BCADBCA12ED等边）． AB=AD．
[例3]如图（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C?向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，?绳子CD和CE要多长？
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ACMCDDB(1)EBN(2)E
分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．
一、复习知识要点
1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
?不等边三角形
2．三角形按边分类：三角形??底边和腰不相等的等腰三角形 ??等腰三角形?等边三角形(正三角形)??
3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
二、例题
例：如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．?求证：AF⊥CD.分析：要证明AF⊥CD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，?于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．
证明：连接AC、AD 在△ABC和△AED中
?AB?AE(已知)???ABC??AED(已知)?BC?ED(已知)?∴△ABC≌△AED（SAD）
∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）
又∵△ACD中AF是CD边的中线（已知）
ABECFD
∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）
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三、练习
（一）、选择题
1．等腰三角形的对称轴是（）
A．顶角的平分线
B．底边上的高
C．底边上的中线
D．底边上的高所在的直线
2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）
A．17cm
B．22cm
C．17cm或22cm
D．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）
A．40°
B．50°
C．60°
D．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）
A．100°
B．100°或40°
C．40°
D．80°
5．如图1，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（）
A．80°
B．90°
C．100°
D．108°
GECABDFHEFA
如图1
答案:
BDC1．D 2．B 3．A 4．C 5．B
如图2
（二）、填空题
6．等腰△ABC的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．
8．等腰三角形的顶角是n°，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．
9．如图2，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，则∠EDF?的度数是_____． 10．△ABC中，AB=AC．点D在BC边上
（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；
（2）∵AD是中线，∴∠________=∠________；________⊥________；
（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______． 11．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=_________．
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12．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD?∥BC，?则△ABC?的边一定满足________． 13．△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，?AE=?2cm，?且DE?∥BC，?则AD=________． 答案:
6．60
7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8．（90+ 1n）°
9．70°
10．略
11．1
12．AB=AC
13．2cm
14．30海里 21AB，你知道∠ACB的度数是多少吗？由
2（三）、解答题
15．如图，CD是△ABC的中线，且CD= 此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．
ADC16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠
ABDC17．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，? 求证：△DBE是等腰三角形．
DBEA答案:
FC
15．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角
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形
16．连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB． ∴∠ABC=∠ADC 17．证明∠D=∠BED
等边三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，?那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=
A1AB． 2ACB
BCD
分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB以DE=
DAECB中，由于∠A=30°，所DE=11AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以221AB． [例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠腰AB上的高．
求：CD的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，BDACABC=∠ACB=15°，CD是
AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．
等边三角形
一、复习知识要点
1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．
2．等边三角形的性质：?等边三角形的三个内角都相等，?并且每一个内角都等于60°
3．等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
二、练习
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（一）、选择题
1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF?的形状是（）
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
AFDBEC
AE1D2BC
4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）
A．2cm
B．4cm
C．8cm
D．16cm 5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．不能确定形状 答案：
1．C 2．D 3．A 4．C 5．B
（二）、填空题
6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．
7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______． 8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．
9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，?则CD?的长度是_______． 答案：
6．60°
7．60°8．三；三边的垂直平分线
9．1cm
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（三）、解答题
10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD?的夹角是多少度？ 11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC?于点D，?求证：?BC=
12．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE?都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD； ②求证：CF=CH；
③判断△CFH?的形状并说明理由．
AEFBCHD
13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）
ADEB答案：
10．60°或120°
11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt△ADC中CD=?2AD，?
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，C
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∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD． 又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD； ②证明△BCF≌△ACH； ③△CFH是等边三角形．
13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE?≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30° Ⅲ、随堂练习，变式训练
练习1：请同学们做课本51页的练习第一题，同时教师在黑板上补充一下题目： 求等腰三角形个角度数：
（1）在等腰三角形中，有一个角的度数为36°.（2）在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.学生思考，练习，教师指导，并给出答案，之后引导学生对以上这种类型的题目存在的规律进行归纳总结。归纳：已知等腰三角形的一个内角的度数,求其它两角时,(a)若已知角为钝角或直角,则它一定是顶角；(b)若已知角为锐角,它可能是顶角,也可能是底角。
本次变式训练中，教师应重点关注：（1）学生能否正确应用等腰三角形的性质；（2）学生是否注意到等腰三角形的地窖一定是锐角；（3）学生是否注意到可能的多种情况；(4)学生是否注意到等腰三角形的顶角可能是钝角，但底角一定是锐角。
设计意图：及时巩固所学知识，了解学生学习效果，增强学生应用知识时培养学生分类讨论的思想。
练习2：已知：在△ABC中，AB=AC，BD=DC.② AD=4,BC=6时，求S?ABC 的能力，同②当?B?50?时，求?1的度数。
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①?AB?AC，BC?DC?AD?BC（等腰三角形地边上的中线，底边上的高相互重合）又?AD?4，BC?611AD?BC??4?6?1222解:②?AB?AC，BC?DC?S?ABC?又??B?50?，AB?AC??C??B?50（等边对等角）??BAC?180??2?50??80???1??2?40?解:
练习2的训练主要是让学生学会应用等腰三角形的性质2来解题。
设计意图：及时巩固所学知识，了解学生学习效果，增强学生应用知识的能力，同时培养学生分类讨论的思想。
Ⅳ、应用深化，巩固提高
例：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
课本例题，学生讨论问题，教师参与讨论，认真听取学生的分析，引导学生找出角之间的关系，书写解答过程。
解：因为AB=AC, BD=BC=AD 所以∠ABC=∠C =∠BDA, ∠A =∠ABD（等边对等角）设∠C=x,则
∠BDA=∠A+∠ABD=2 x
从而∠ABC=∠C =∠BDA=2 x 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=180° 解得x=36°
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=72°，∠C=72°。
通过例题讲解，教师应重点关注：（1）学生能否正确应用等腰三角形的性质解决问题；（2）学生应用所学知识的应用意识。
设计意图：培养学生正确应用所学知识的应用能力，增强应用意识，参与意思，巩固所学性质。Ⅴ、课时小结
??1??（等腰三角形底边上的2中线、顶角的角平分线相互重合）A
D B C
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请大家拿出前面剪得的等腰三角形，与小组同学一起结合图形指出你知道的内容。等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。教师重点关注：①归纳、总结能力；②不同层次的学生对本节知识的认识程度；③学生独立面对困难和克服困难的能力。
设计意图：总结回顾学习内容，帮助学生归纳，激发学生主动参与的意识，为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供充分展示自己的机会。
一、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案
1．等腰三角形（不等边）的角平分线、中线和高的条数总和是（）A．
3B．
5C．7
D．9 2．在射线、角和等腰三角形中，它们（）轴对称图形 A．都是
B．只有一个是 C．只有一个不是
D．都不是
3．如下图：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图形中共有（）个等腰三角形。
A．
1B．
2C．
3D．4
4．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是（）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．非等腰三角形 D．等边三角形
5．△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于（）A．70°
B．20°或70° C．40°或70°
D．40°或20°
二、填空题（每题6分，共30分）
1．等腰三角形中的一个外角为130°，则顶角的度数是_______________。
2．△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，CD=3，∠B=75°，则AB=_________________ 3．如下图：△ABC 中，AB=AC，DE是AB中垂线交AB、AC于D，E，若△BCE的周长为24，AB=14，则BC=________，若∠A=50°，则∠CBE= ______________。
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4．等腰三角形中有两个角的比为1：10，则顶角的度数是__________________。
5．如下图：等边△ABC，D是形外一点，若AD=AC，则∠BDC=_____________度。
三、作图题（6分），只画图，不写作法。如左图：直线MN及点A，B。
在直线MN上作一点P，使∠APM=∠BPM。
四、解答题（第1小题12分，第2、3小题各11分）
1．已知：如图△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于H。求证：HB=HC。
2．已知：如图：等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，求证：MN?1BN。2
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3．已知：如图：△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC=120°，AB+BD=DC。求：∠C的度数。
选作题：
已知：如图：△ABC中，D是BC上一点，P是AD上一点，若∠1=∠2，PB=PC。求证：AD⊥BC。
参考答案
一、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案 1．C2．A3．C4．D5．B
二、填空题（每题6分，共30分）1．50°或80° 2．6 3．10，15° 4．150°或60? 75．30
三、作图题（6分），只画图，不写作法。
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四、解答题（第1小题12分，第2、3小题各11分）
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（同一△中等边对等角）∵CE⊥AB，∴∠1+∠ABC=90°（直角三角形中两个锐角互余）同理∠2+∠ACB=90°，∴∠1=∠2，∴HB=HC（同一△中等角对等边）
2．证明：∵等边△ABC，∴AC=BA，∠C=∠BAC=60°
在△ABE和△CAD中，∵BA=AC，∠BAC=∠C，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）∴∠2=∠1 ∵∠BNM=∠3+∠2，∴∠BNM=∠3+∠1=∠BAC=60° ∵BM⊥AD，∴∠4+∠BNM=90°，∴∠4=30° ∵BM⊥AD，∴MN?1BN（直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半）2
3．解：延长DB到E，使BE=AB，连结AE，则∠1=∠E。∵∠ABC=∠1+∠E，∴∠ABC=2∠E ∵AB+BD=DC，∴BE+BD=DC，即DE=DC ∵AD⊥BC，∴AE=AC，∴∠C=∠E，∴∠ABC=2∠C ∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=120° ∴2∠C+∠C=180°-120°=60°，燕园教育辅导中心
∴∠C=20°
答：∠Ｃ的度数是20°
选作题
证明：作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N ∵∠1=∠2，∴PM=PN 在Rt△BPM和Rt△CPN中
?PM?PN ?PB?PC?∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL）∴∠ABP=∠ACP ∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB。
∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB，即∠ABC=∠ACB。∴AB=AC，∵∠1=∠2 ∴AD⊥BC
等腰三角形
（一）教学目标：
1．等腰三角形的概念.2．等腰三角形的性质.3．等腰三角形的概念及性质的应用． 教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用． 教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教具准备：圆规、三角尺、教学过程
一．提出问题，创设情境
1.①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
2.满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，?也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形． 二．导入新课
1.同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
AABI
BIC
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
思考：
(1)．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
(2)．等腰三角形的两底角有什么关系？
(3)．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
(4)．底边上中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？?底边上的高所在的直线呢？
2.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
(它的两个底角有什么关系？)
3.等腰三角形的两个底角相等，?而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．(这个结论由学生共同探究得出的)等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰△的顶角平分线，底边上的中线、?底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
4.[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．
AB三．随堂练习
课本P51练习 1、2、3． 四．课时小结
DC
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． 五．课后作业
课本P56习题12．3 1、3、4、题．
等腰三角形
（二）教学目标
探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念． 教学重点：
等腰三角形的判定定理及其应用．探索等腰三角形的判定定理． 教学难点：
等腰三角形的判定定理及其应用． 教学过程
一．提出问题，创设情境
1.等腰三角形有些什么性质呢？
2.满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？ 二．导入新课
1.思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，?能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
0AB
2.在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
[例1]已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）． 求证：AB=AC．
证明：作∠BAC的平分线AD．
在△BAD和△CAD中
??1??2,?
??B??C,?AD?AD,?A12BDCAB=AC．
∴△BAD≌△CAD（AAS）． ∴3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
4.[例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么 这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）． 求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对练习：已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC． 求证：
证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．
又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角对等边）．
BCADBCA12ED等边）． AB=AD．
[例3]如图（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C?向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，?绳子CD和CE要多长？
ACMCDDB(1)EBN(2)E
分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题． 三．随堂练习
课本P51 1、2、3． 四．课时小结
本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，?在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力． 五．课后作业
课本P56-57 2、4、5、9题．
等腰三角形（练习课）
教学目的：
1．使学生进一步熟练理解和掌握等腰三角形的概念及性质、判定定理及的应用． 2．能灵活地运用等腰三角形的知识解决问题.教学重点：
能灵活地运用等腰三角形的知识解决问题。教学难点：
能灵活地运用等腰三角形的知识解决问题。教具准备：三角板、小黑板 教学过程：
一、复习知识要点
1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
?不等边三角形
2．三角形按边分类：三角形??底边和腰不相等的等腰三角形 ??等腰三角形?等边三角形(正三角形)??
3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
二、例题
例：如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．?求证：AF⊥CD.分析：要证明AF⊥CD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，?于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．
证明：连接AC、AD 在△ABC和△AED中
?AB?AE(已知)???ABC??AED(已知)?BC?ED(已知)?∴△ABC≌△AED（SAD）
∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）
又∵△ACD中AF是CD边的中线（已知）
ABECFD
∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）
三、练习
（一）、选择题
1．等腰三角形的对称轴是（）
A．顶角的平分线
B．底边上的高
C．底边上的中线
D．底边上的高所在的直线
2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）
A．17cm
B．22cm
C．17cm或22cm
D．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）
A．40°
B．50°
C．60°
D．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）
A．100°
B．100°或40°
C．40°
D．80°
5．如图1，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（）
A．80°
B．90°
C．100°
D．108° GECABDFHEAF
如图1
答案:
BDC1．D 2．B 3．A 4．C 5．B
如图2
（二）、填空题
6．等腰△ABC的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．
8．等腰三角形的顶角是n°，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．
9．如图2，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，则∠EDF?的度数是_____． 10．△ABC中，AB=AC．点D在BC边上
（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；
（2）∵AD是中线，∴∠________=∠________；________⊥________；
（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______． 11．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=_________．
12．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD?∥BC，?则△ABC?的边一定满足________． 13．△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，?AE=?2cm，?且DE?∥BC，?则AD=________． 答案:
6．60
7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8．（90+ 1n）°
9．70°
10．略
11．1
12．AB=AC
13．2cm
14．30海里 21AB，你知道∠ACB的度数是多少吗？由
2（三）、解答题
15．如图，CD是△ABC的中线，且CD= 此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．
ADCB 16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，? 求证：△DBE是等腰三角形．
DBEA答案:
FC
15．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
16．连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB． ∴∠ABC=∠ADC 17．证明∠D=∠BED
等边三角形
（一）教学目标
经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程． 教学重点：
等边三角形判定定理的发现与证明． 教学难点：
引导学生全面、周到地思考问题． 教具准备：圆规、三角尺、教学过程
一．提出问题，创设情境
1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？
2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？?你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．
二．导入新课
1.探索等腰三角形成等边三角形的条件．
如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．你能给大家陈述一下理由吗？
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
2．你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？
今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？
[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．
[师]下面就请同学们来证明这个结论．
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，∴BC=AC（等角对等边）．
又∵∠A=∠C，∴BC=AC（等角对等边）．
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
等腰三角形的性质和判定方法就可以得到：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
3．讲解P51例4 三．随堂练习
课本P54 练习1、2．
四．课时小结
这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，?并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．
五．课后作业
课本课本P56-57 5、6、7、10题．
ABC
等边三角形
（二）教学目标
1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用． 教学重点：含30°角的直角三角形性质定理发现与证明．
教学难点：含30°角的直角三角形性质定理发现与证明．引导学生全面、周到地思考问题． 教具准备：圆规、三角尺、教学过程
一．提出问题，创设情境
1.用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？?能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
2.由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？ 二．导入新课
1.用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．
AABD(1)CB
D(2)C
其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
图（1）中，已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．?而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=所对的边BD是斜边AB的一半．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，?那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=
11BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它221AB． 2AACB
BCD
分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB以DE=
DAECB中，由于∠A=30°，所DE=11AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以221AB． [例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠腰AB上的高．
求：CD的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，BDACABC=∠ACB=15°，CD是
AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，?则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，?可求出CD． 三．随堂练习
课本P56练习 四．课时小结
这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用． 五．课后作业
课本P57-58 11、12、13、14题．
等边三角形（练习课）
教学目的：
1．使学生进一步熟练理解等边三角形判定定理和性质． 2．能灵活地运用等边三角形判定定理和性质的知识解决问题.教学重点：
能灵活地运用等边三角形的知识解决问题。教学难点：
能灵活地运用等边三角形的知识解决问题。教具准备：三角板、小黑板
一、复习知识要点
1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．
2．等边三角形的性质：?等边三角形的三个内角都相等，?并且每一个内角都等于60°
3．等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
二、练习
（一）、选择题
1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF?的形状是（）
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
AFDBEC
4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）
A．2cm
B．4cm
C．8cm
D．16cm 5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．不能确定形状 答案：
AE1D2BC 1．C 2．D 3．A 4．C 5．B
（二）、填空题
6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．
7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______． 8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．
9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，?则CD?的长度是_______． 答案：
6．60°
7．60°8．三；三边的垂直平分线
9．1cm
（三）、解答题
10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD?的夹角是多少度？
11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC?于点D，?求证：?BC=
12．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE?都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD； ②求证：CF=CH；
③判断△CFH?的形状并说明理由．
AEFB
13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）
HCD
ADEB答案：
10．60°或120°
11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt△ADC中CD=?2AD，?
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD． 又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD； ②证明△BCF≌△ACH； ③△CFH是等边三角形．
13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE?≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°
C